程式交易≠Holy Grail

又受教了~

經允許轉貼自策略經理人信件

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策略經理人雙周報(九) 效率前緣

此篇幅將探討的主題:

(1) 槓桿、相關係數、權重的影響。

(2) 效率前緣示意圖

(3) 資金權重轉換為單位權重。

(4) 報酬率修正-經驗法則。

本回的雙周報將以較詳細的篇幅介紹效率前緣，此配置模型由Harry Max Markowitz提出並獲得諾貝爾經濟學獎，至今仍然在實務上廣被使用的模型；我們之前探討過相關係數在眾多估計量中屬於相當穩定的一員，要利用相關係數創造交易優勢，最好的方式就是透過策略配置，給予不同的口數權重，調整出符合需求的投資目標，而效率前緣即是此為基礎進行配置最佳化計算，效率前緣的輸入估計量為年化報酬率、年化標準差以及相關係數，而輸出則是權重(針對Sharpe-Ratio做最佳化)，這也是雙周報到現在一直在介紹並採用的績效指標。

• 槓桿、相關係數、權重的影響

傳統在計算市場資本或是資產報酬時都會考慮利率，但以期貨交易屬於高槓桿與高風險交易，利率相對而言影響太小了（通常期貨保證金帳戶與入金銀行的活存利率都是微乎其微），因此策略經理人直接忽略利率的影響，以下以兩個策略的組合權重做範例。

(1) 槓桿的影響

槓桿本身對風險與報酬是呈現線性關係，先假設現在使用單一策略A，根據本金大小算出年化風險值(即是標準差)與報酬率，因為是單一策略，我們預設此資金與口數的比例為權重100%，當槓桿有所變化時可推敲出以下結果-：

當「口數縮小為五分之一」、或是「資金準備增加到五倍」代表槓桿縮小，則權重變成20%，此時無論是風險或是報酬都會變成20%，Sharpe Ratio不變；反之權重超過100%即是放大槓桿。

由上圖，線的斜率即是Sharpe Ratio，線愈陡則風險調整後的績效愈高，但是因為槓桿造成的影響只是權重調節，因此結果就是線性變化，如圖中所有的點能連接成一條線－Sharpe Ratio皆維持相同（放大槓桿的同時，風險也相對等比例增加；相對的縮小槓桿時也是）。

(2) 相關係數的影響

多策略的權重配置，比較麻煩的是要了解策略的設定的準備資金，這邊看到的權重皆表示資金權重，我們先以相關係數為1 與 -1的極端例子做解說。雖然相關係數等於1或 -1的極端例子在真實世界中是幾乎不存在，但在這邊舉例只是為了幫助我們做比較，以達到了解並融會貫通的目的。

以上圖表是在相關係數1時的風險報酬變化，當完全正相關時，權重變化會造成配置點成為一直線，也是線性比例，只是我們看圖可以知道A策略的SharpeRatio較高，因此最划算的配置點會是在策略A，選擇策略B雖然擁有較低的風險，但是報酬卻減少得更多，如果想要降低風險又有好的報酬率，就直接全部採用A策略並降低槓桿即可。

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上圖表是在相關係數為-1時的狀況，有很強的對沖效果，在某個權重配置下會將曝險完全對沖並將年化風險值降到0(配置點2)，造成Sharpe Ratio無限大，實際上高報酬又無風險的投資是不可能存在，而真實交易亦不太可能有相關係數為 -1且都有正期望值的狀況，因此這是理論結果。

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相關係數不高的狀況，就如上圖，配置曲線是有凸性的，相關係數愈低會愈往左邊延伸，我們可以看到以上的各配置點中以配置點3的Sharpe Ratio最高，它的斜率最大，原點的連接線剛好與弧面相切，我們稱作「切點投資組合」；配置點2有最低的風險我們稱作最小風險投資組合；而其中配置1是屬於不效率的，因為他在整條弧線的下半緣。

• 效率前緣示意圖

再進一步我們可以知道，整條曲線可以由配置點2做基準點分成上半緣與下半緣，下半緣是屬於不效率的部分－同樣的風險下上半緣的報酬率會比下半部緣還要高，因此上半部則是所謂的效率前緣，我們把下半圓擦掉依此概念繪圖﹕

不效率的下半緣拿掉後，只剩下上半部的效率前緣，而在配置點3與原點畫一連接線成為切線，因為配置點3的Sharpe Ratio最高，所以此切線在所有連接點中的斜率也是最大。

知道斜率最大的切點配置3，我們依此畫出切線，我們也知道透過調整槓桿可以在此切線上做線性移動，因此我們以配置點3的配置比例做基準，把槓桿放大後配置點就會沿著切線往上延伸，使之在相同的風險下會有比配置點4更好的報酬率；反之亦然，若將槓桿縮小，則將在相同的風險值下會有比配置點2還要高的報酬率。

由先前的描述可以知道，如果相關係數愈低，則效率前緣將會愈往左延伸，則代表同樣的報酬率下會有較低的風險，這樣的效果主因是風險分散－連動的風險減少造成整體風險下降，也跟前幾回雙周報一再強調的關鍵點吻合，風險分散是很重要的，尤其在市場上真的沒有人拿到過聖杯可以狂賺十幾二十年，因此我們一再強調透過有效降低風險是最實際。

以上的範例都是兩個策略，兩個策略的配置在計算上是最容易的，而在更多策略的配置計算上是屬於非線性規劃的領域，一般能做此計算的數學軟體其授權都是相當昂貴，因此筆者希望使用者能多珍惜這個功能。

• 資金權重轉換為單位權重

上個章節可以了解到效率前緣的運作與計算，但請注意如果單純如此計算它的產出將會是資金權重，在原始的效率前緣理論出現後，也多用在股票、基金、現金、黃金…等商品，這些類型的資產給予資金權重是很合理（股票是買的金額愈大風險跟損益都愈大）。

然而用在期貨交易的策略，實際的曝險則是策略的口數﹕

(1) 假設同一個策略放70萬跟放100萬，但是卻都只跑一口，這兩種情形損益的金額會是相同的，因此知道資金權重對實戰的交易不夠直覺。

(2) 許多人在多策略的系統實際上線時，資金控管上並不是累加－譬如有兩個策略原本個別進行都是放100萬，當組合在一起後我們通常不會放200萬。

(3)承上述雙策略資金150萬，倘若系統計算結果告訴我們資金權重為40%:60%，那我們依造此配置策略資金為60萬:90萬，這樣對嗎？只調整資金是沒任何意義的，我們要知道的是口數單位如何調整。

(4)在期貨交易中如果我們各個策略設定的準備的資金較小，則年化報酬率與年化風險都會提高，如此輸入的資料會造成－即使策略改變，不同的資金準備代入效率前緣計算後會產出不一樣的權重。

為了解決前述問題，把效率前緣能應用到期貨交易策略的實戰上，策略經理人採資金轉換口數的修正方法，為的就是當設定不同的資金都能有一致性的配置比例，處理這樣問題所做的轉換，我們稱做為去槓桿轉換，整個計算轉換的流程如下。

系統依據各策略一開始設定的資金準備計算年化報酬與風險，當資金權重算出後，為了產出適合實戰用的單位權重，系統會依據各策略一開始設定的資金準備－資金大的策略除以相對高的數字、資金小的策略除以相對小的數字，去還原出單位權重，這就是所謂的的去槓桿化轉換（如此作法讓加碼策略也能使用效率前緣）。

例如﹕一開始個策略設定的資金準備－A策略70萬 B策略100萬。

若效率前緣算出資金權重是 A策略50% B策略50%

去槓桿化轉換 A策略=50%*(170/70)=121.43% B策略=50%*(170/100)=85%

=>A策略口數單位:B策略口數單位 = 121.43 : 85 = 58.82% : 41:18%

=>A策略比B策略的單位權重會是58.82%比41.18%

策略經理人在計算效率前緣後會根據上半緣等距列出六十個配置點，而計算後預設的游標位置則是切點配置(代表最高Sharpe Ratio)。

我們一樣用以前雙周報的策略(諸葛亮與臭皮匠)的策略做示範，計算前的組合單位是1口:1口(也就是現行單位權重50%:50%)﹕

狀況一：臭皮匠設定資金準備100萬，諸葛亮設定資金準備100萬：

狀況二：臭皮匠設定資金準備70萬，諸葛亮設定資金準備100萬：

以上的兩個case我們只分別調整臭皮匠策略的資金準備讓他有兩種年化風險跟報酬率，其餘不變。綠色線標出低槓桿跟高槓桿的年化風險報酬，因為資金準備變小使得槓桿增加，而年化風險報酬成等比例增加(配置圖上可以看到臭皮匠策略的位置往右上角移動了)，而最佳化組合的的位置也跟著往右上角移動去了(年化報酬率跟年化風險看似會不一樣)，但這些都是槓桿的影響所以並不重要，因為無論個別預設的準備資金是多少，最佳化後的Sharpe Ratio一樣保持在1.67不受影響，更重要的是我們了解到最佳化單位權重幾乎不變（會有微小的差距是因為策略經理人預設切60個配置點，如果配置點的點數增加會有更高的精準度，但計算時間會變得更久），所以我們只要知道配置的單位權重就能依此比例做最佳化配置，以達到更好的Sharpe Ratio，剩下的就是重新規劃槓桿即可。這個調整方法，使得無論我們個別策略設定怎樣的準備資金跟槓桿，都不會影響最佳化單位權重以及最佳化Sharpe Ratio，是本節探討的重要結論。

以上面為例，我們取近似值將兩個策略配置成3個單位:7個單位，並且重新做一次逐日損益，再用算出的凱利方程式重新設計準備資金及槓桿，順便看一下VaR的風險如何：

絕大多數的交易者在建構多策略時都還是採平均權重，以此配置兩個策略50%:50%，我們設定成5個單位:5個單位，並且再畫一次逐日損益，代入的凱利方程式重新設計準備資金及槓桿，VaR也同樣跑一次：

眼尖的讀者可以看得出來，最佳化的配置比平均權重配置的風險更低(VaR較低)，可用槓桿較大(凱利方程式較大)，年化報酬率增加，順道一提的是MDD也變小了。

若使用的是多個加減碼策略，一樣可以用此去槓桿的效率前緣做配置，要注意的是實際口數是策略口數*單位權重，譬如原本策略是1~3碼的口數，若配置單位是3則實際下單時口數將是3~9口。

• 報酬率修正-經驗法則

效率前緣模型問世的幾十年來，一直不停地有人去修正改進他，原因在於效率前緣有三種估計量要輸入(報酬率、標準差、相關係數)，其中標準差跟相關係數無論是歷史跟未來都屬於穩定的估計量，但報酬率不會穩定。而效率前緣若採用過去的年化報酬率，則配置出來的權重將較集中在過去報酬率較高的投資標的，但是因為報酬率本身是不會穩定，則有可能會有過度集中的現象，譬如上面的範例配置結果集中在諸葛亮策略(71.82%)是因為他績效較好，不過很多原因都有可能造成報酬率錯估，包括回測的最佳化、短期績效爆表、歷史樣本不足…都會有所影響。

為了修正效率前緣，業界跟學界陸續提出很多方法加入效率前緣，例如Black-Litterman模型、Resample approach、蒙地卡羅估計、Experience base…等，這些修正法最主要就是修正報酬率估計的缺陷，但有些方法假設較多餘。策略經理人採用了其中的經驗法則的方式去做報酬率調整，當您判斷您的策略有可能有以下狀況時：

(1)歷史樣本不足

(2)剛好歷史樣本屬於操作順利的時段

(3)回測參數經過最佳化

(4)策略未上線或是上線不久，還未經過完全的實戰考驗

當判斷有這樣的情況時請下修報酬率，修正的方法很簡單，只要按下最佳化計算按鈕旁的情境設定

會出現以下畫面：

此畫面可直接做報酬率的下修，我們假設諸葛亮策略是尚未上線的菜鳥策略，則我們對她的年化報酬率打七折=63.69%，在這邊強烈建議下修請用「打折」的方式而別直接減百分點（譬如直接減25%之類）會比較客觀，用此修正後重新計算。

我們依此設定重新計算效率前緣並取得切點配置：

這樣的配置我們看到－雖然Sharpe Ratio也被下修到1.38，但是配置上更分散了，可以避免未來上線後過度集中在諸葛亮策略而造成的風險，如果諸葛亮策略未來不幸命喪五丈原，也還有能人能夠撐住大局。

結論

多策略的精華在這幾篇中已經介紹完畢，但到此為止的口數是固定住的，如果您今天帳戶金額有增有減，那持倉的口數還能夠一樣嗎？這問題勢必得克服，下一回的雙周報將深入淺出的探討Position Sizing(部位規模)的精義，此方法類似一種函數的對應關係，依照帳戶現況動態調整部位大小的方法，起初它的發明並不是為了提升操作績效，只是為了有合理的對應關係，但若使用在多策略上，並重新規劃效率前緣的話，是可以透過Rebalancing提升更好的績效。

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